Hikikirjasto:Uusi matematiikka

Hikipedia

Loikkaa: valikkoon, hakuun
Tämä kirja on lainattu Hikikirjastosta.
myöhästymismaksut ovat tähän mennessä jo 120,20 euroa ja kasvavat koko ajan.

Uusi matematiikka muodostaa aksioomia ja todistuksia, joiden tulokset ovat sellaisia, että rajoittuneet maallikot eivät voi niitä hyväksyä. Myöskään rajoittuneet matematiikanopettajat harvemmin osaavat näin syvällistä matematiikkaa ja väittävät, että SINÄ olet laskenut väärin. Vaikka oikeasti ainut, joka on laskenut väärin, on kokeen tekijä!

Sisällysluettelo

[muokkaa] Todistus: 1 = -1

  • Aloitetaan
    − 1 = − 1
  • Tehdään näistä "vulgar fraction"
    \frac{1}{-1} = \frac{-1}{1}
  • Neliöjuuri molemmin puolin antaa
    \sqrt{\frac{1}{-1}} = \sqrt{\frac{-1}{1}}
  • Joka on samanarvoinen kuin:
    \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{-1}} = \frac{\sqrt{-1}}{\sqrt{1}}
  • Nyt kerromme molemmat puolet \sqrt{-1} ja sitten \sqrt{1}, jonka seurauksena syntyy
    \sqrt{1}\cdot\sqrt{1} = \sqrt{-1}\cdot \sqrt{-1}
  • Tiedämme, että mikä tahansa numero, josta otetaan neliöjuuri, josta otetaan toisen potenssi, antaa alkuperäisen numeron, joten
    1 = − 1

M.O.T.

[muokkaa] Toinen tapa:1 = -1

1 = \sqrt{1} = \sqrt{(-1)(-1)} = \sqrt{-1}\sqrt{-1} = -1

[muokkaa] Kolmas todistus 1 = -1

-1 = (-1)^3 = (-1)^\frac{6}{2} = ((-1)^6)^\frac{1}{2} = 1^\frac{1}{2} = 1

[muokkaa] Nurin päin: -1 = 1

cos2x = 1 − sin2x
(\cos^2x)^\frac{3}{2}=(1-\sin^2x)^\frac{3}{2}
(\cos^3x)=(1-\sin^2x)^\frac{3}{2}

otetaan x=180°.

LHS=-1, RHS=(1-0)^\frac{3}{2}=1

jolloin

− 1 = 1

[muokkaa] Todistus: 1 < 0

  • Oletetaan, että
    0 < x < 1
  • Nyt otamme logaritmin molemmilta puolilta. Niin kauan kun x > 0, voimme tehdä näin, koska logaritmit ovat monotoonisesti kasvavia. Havaitsemme, että log 1 = 0, ja saamme
    ln(x) < 0
  • Jakamalla ln (x) saamme
    1 < 0

MOT.

[muokkaa] Todistus: 2 = 1

  • a ja b ovat nollasta poikkeavia yhtä suuria lukuja
    a = b
  • Kerrotaan molemmat puolet a:lla
    a2 = ab
  • Vähennetään b2
    a2 − b2 = ab − b2
  • Jaetaan tekijöihin
    (a − b)(a + b) = b(a − b)
  • Jaetaan (a − b)
    a + b = b
  • Havaitsemme että a = b
    b + b = b
  • Yhdistetään samanlaiset termit vasemmalla
    2b = b
  • Jaetaan 0 poikkeavalla b:llä
    2 = 1

[muokkaa] Todistus: Mikä tahansa luku = 0

  • Valitaan a ja b siten, että ne ovat mitkä tahansa kaksi yhtä suurta nollasta poikkeavaa lukua.
    a = b
  • Kerrotaan a
    a2 = ab
  • Vähennetään b2
    a2 − b2 = ab − b2
  • Jaetaan molemmat puolet tekijöihin
    (a − b)(a + b) = b(a − b)
  • Jaetaan (a - b)
    a + b = b
  • Vähennetään b molemmilta puolilta
    a + b − b = b − b
  • Kun + b - b = 0 ja b - b = 0
    a = 0

MOT.

[muokkaa] Todistus: a = b

  • a ja b ovat mitä tahansa lukuja.
    a − b = c
  • Kerrotaan a - b:
    (a − b)(a − b) = (a − b)c
  • Ratkaistaan kertolaskut:
    a2 − 2ab + b2 = ac − bc
  • Uudelleenjärjestetään kaikki ja saamme:
    a2 − ab − ac = ab − b2 − bc
  • Jaetaan tekijöihin:
    a(a − b − c) = b(a − b − c)
  • Poistetaan yhteinen tekijä
    a = b

MOT!

[muokkaa] Todistus: 0 = 1

  • Aloitetaan sillä, että 0 saadaan, kun summataan yhteen ääretön määrä nollia.
  • 0 = 0 + 0 + 0 + ...
  • Sitten huomataan, että 0 = 1 − 1
  • 0 = (1 - 1) + (1 - 1) + (1 - 1) + ...
  • Yhdistämme edelliset kaksi lakia (associative law) ja korvaamme ääretön nollien summa jälkimmäisellä nollasäännöllä.
    0 = 1 + (-1 + 1) + (-1 + 1) + (-1 + 1) + \cdots
  • Ja tietenkin − 1 + 1 = 0
    0 = 1 + 0 + 0 + 0 + \cdots
  • Ja kun jätämme merkitsemättä 0:t, jotka eivät vaikuta summan kokoon, jää jäljelle ainoastaan
0 = 1

MOT!

[muokkaa] Todistus: 2 = 1

  • 4 * 3 = 3 + 3 + 3 + 3
  • Kun x on nollasta poikkeava, on myös
    x = 1 + 1 + \cdots + 1 (x terms)
  • Nyt kerromme x:llä molemmat puolet
    x^2 = x + x + \cdots + x (x terms)
  • Otamme derivaatan x
    2x = 1 + 1 + \cdots + 1 (x terms)
    2x = x
  • Lopuksi jaamme nollasta poikkeavalla x:llä.
    2 = 1

MOT

Toinen todistus:

− 2 = − 2
4 − 6 = 1 − 3
4 − 6 + 9 / 4 = 1 − 3 + 9 / 4
(2 − 3 / 2)2 = (1 − 3 / 2)2
2 − 3 / 2 = 1 − 3 / 2
2 = 1


[muokkaa] Todistus: i² = 1

  • i = \sqrt{-1}
  • Neliöjuuret molemmista puolista
    i^2 = \sqrt{-1} \cdot \sqrt{-1}
  • Otetaan toiset potenssit
    i^2 = \sqrt{1}
  • neliöjuuri 1stä on 1
    i2 = 1

MOT.

[muokkaa] Todistus: 4 = 5

  • − 20 = − 20
  • Esitetään molemmat puolet hieman eri tavalla – kuitenkin niin, että yhtäsuuruus säilyy.
    25 − 45 = 16 − 36
  • Jaetaan molemmat puolet tekijöihin
    5^2 - 5 \times 9 = 4^2 - 4 \times 9
  • Summataan sama luku molemmille puolille
    5^2 - 5 \times 9 + \frac{81}{4} = 4^2 - 4 \times 9 + \frac{81}{4}
  • Nyt jaetaan molemmat puolet uudestaan
    \left(5 - \frac{9}{2}\right)^2 = \left(4 - \frac{9}{2}\right)^2
  • Otetaan neliöjuuri molemmista puolista
    5 - \frac{9}{2} = 4 - \frac{9}{2}
  • Poistetaan yhteinen termi
    5 = 4

MOT!

[muokkaa] Katso myös

Haettu osoitteesta http://hikipedia.info/wiki/Hikikirjasto:Uusi_matematiikka
Henkilökohtaiset työkalut