Hikikirjasto:Kausaaliset yhtälöt

Tämä kirja on lainattu Hikikirjastosta. myöhästymismaksut ovat tähän mennessä jo 207,80 euroa ja kasvavat koko ajan.

Tervetuloa kausaalisista yhtälöistä kertovaan tietoteokseen! Tämä teos on laajennos matematiikan pitkän oppimäärän yhdennessätoista kurssissa kerrottavaan lukuteoriaan ja logiikkaan. Aiheenamme ovat tänään kausaaliset yhtälöt eli epäyhtälöt, joiden polynomilausekkeiden välillä on syy-seuraussuhde eli kausaliteetti.

Niin mitkä? Selitetäänpä tarkemmin...

Kausaalinen yhtälö tai kausaaliyhtälö on matemaattinen epäyhtälö. Kausaalisessa yhtälössä tulee olla parillinen määrä tekijöitä, jotka asettuvat toisiaan vasten. Mikäli tekijöitä on neljä, kyseessä on kausaalinen yhtälöpari tai kausaaliyhtälöpari. Kausaaliyhtälö on saanut nimensä yhtälön kahden eri puolen välisestä yksisuuntaisesta syy-seuraussuhteesta, jota nimitellään tuhmasti kausaliteetiksi. Kausaalisella yhtälöllä on kaksi mahdollista esitysmuotoa: sanallinen esitysmuoto ja algebrallinen esitysmuoto.

Tavallisin kausaalinen yhtälö

Tavallisimmassa kausaaliyhtälössä on kaksi puolta: subjektiivinen puoli x ja objektiivinen puoli a. Puolten välillä on kausaliteetti, joka toteuttaa kyseisen yhtälön. Kausaaliyhtälö voi olla sanalliselta esitysmuodoltaan esimerkiksi tällainen: "muumio vaihtaa lampun", jossa muumio on yhtälön subjektiivinen puoli x ja lamppu on yhtälön objektiivinen puoli a. Kausaaliyhtälön kausaliteetin aiheuttajaa eli niin sanottua kausalitiivista attribuutiota (joka on tässä tapauksessa vaihtaminen) merkitään jompaankumpaan suuntaan osoittavalla erisuuruusmerkillä riippuen siitä, onko yhtälön objektiivinen puoli eli kohde yhtälön vasemmalla vai oikealla puolella. Suurempi kuin- tai pienempi kuin -merkki osoittaa aina kohteeseen päin, jolloin edellä mainittu yhtälö olisi kutakuinkin algebrallisesti tätä muotoa:

[math]\displaystyle{ x \gt a\ \! }[/math]

Yhdellä kohteella voi olla useampi kuin yksi tekijä. Tällöin yhtälöt "kolme muumiota vaihtavat lampun" ja "muumio, luuranko (y) ja zombi (z) vaihtavat lampun" olisivat kuten alla:

[math]\displaystyle{ \begin{align} \mbox{3 muumiota vaihtavat lampun} & = 3x \gt a \\ \mbox{muumio, luuranko ja zombi vaihtavat lampun} & = x + y + z \gt a \end{align} }[/math]

Toisaalta taas yhdellä tekijällä voi olla useampi kuin yksi kohde. Tällöin yhtälöt "muumio vaihtaa neljä lamppua" ja "muumio vaihtaa lampun ja vaipat (b)" olisivat kuten alla:

[math]\displaystyle{ \begin{align} \mbox{muumio vaihtaa 4 lamppua} & = x \gt 4a \\ \mbox{muumio vaihtaa lampun ja vaipat} & = x \gt a + b \end{align} }[/math]

Kohteita voi lisätä asettamalla plussia kaikkien tekijöiden tai kohteiden välille, kuten esimerkeissä käy ilmi.

Negaatio

Jos epäyhtälön jommallakummalla puolella olevilla termeillä on negaatio, kyseinen termi muuttuu vastaluvukseen. Harvoissa tapauksissa voi kokonaisesta yhtälöstä tulla vastayhtälö (älä sekoita epäyhtälöön), kuten yhtälö "muumio ei vaihda lamppua" alla:

[math]\displaystyle{ \neg (x \gt a) }[/math]

Epäyhtälöä yleensä tarkennetaan sanalla ainakaan, joka on tekijän tai kohteen tarkentaja/tarkennin eli joko subjektiivinen tai objektiivinen attribuutti. Se osoittaa tässä tapauksessa negaation kohteen. Tarkennin sijaitsee siis aina tekijän tai kohteen edessä, kuten seuraavissa yhtälöissä:

[math]\displaystyle{ \begin{align} \mbox{Subjektiivinen attribuutti: ainakaan muumio ei vaihda lamppua} & = \neg x \gt a\\ \mbox{Objektiivinen attribuutti: muumio ei vaihda ainakaan lamppua} & = x \gt \neg a \end{align} }[/math]

Mikäli tarkennin sijaitsee kausalitiivisen attribuution edessä, kyseessä on predikatiivinen attribuutti, jolloin:

Väärin: [math]\displaystyle{ \mbox{muumio ei ainakaan vaihda lamppua} \not= \neg x \gt a }[/math]

Oikein: [math]\displaystyle{ \mbox{muumio ei ainakaan vaihda lamppua} = x \neg (x \gt a) \Leftrightarrow 0 \lt \neg a }[/math]

Tässä kausaaliyhtälössä yhtälön subjektiivinen puoli eli tekijä, joka on tässä edelleen se sama muumio, eliminoi itsensä, jolloin yhtälön lopputulos on "Lamppu ei vaihdu." johtuen yhtälössä olevan tekijän puuttumisesta. Tämän yhtälön kohteesta on näin ollen tullut sekä tekijä että kohde.

Nollan merkitys

Luku nolla tarkoittaa kausaaliyhtälössä jommankumman puolen puuttumista. Nollan esiintyminen merkitsee joko

a) tekijän puuttumista, jolloin kohteesta tulee tekijä ja kohde yhtaikaa ja kyseessä on niin kutsuttu passiivinen kausaaliyhtälö, tai

b) kohteen puuttumista, jolloin kyseessä on epämääräinen kausaaliyhtälö.

Huomaa, että vaikka passiivisen yhtälön sanallisessa muodossa kohteesta tulee tekijä ja kohde samanaikaisesti, nolla on kuitenkin itse yhtälössä se varsinainen kohde. Erisuuruusmerkin tulee siis aina osoittaa nollaan päin, mikäli nolla sattuu esiintymään kausaaliyhtälössä. Alla olevissa yhtälöissä esiintyy nolla:

[math]\displaystyle{ \begin{align} \mbox{lamppu vaihtuu} & = 0 \lt a \\ \mbox{muumio vaihtaa} & = x \gt 0 \end{align} }[/math]

Kausaaliset yhtälöparit

Kausaaliyhtälöpareissa on kaksi kausaaliyhtälöä, joiden välillä on joko looginen konjunktio tai looginen disjunktio. Loogisessa disjunktiossa olevan kausaaliyhtälöparin yhtälöt erotetaan toisistaan vaakasuoralla viivalla. Loogisessa konjunktiossa yhtälöparin molemmat yhtälöt toteutuvat, kun taas disjunktiossa toisen toteutuessa toinen ei toteudu. Esimerkkiyhtälönä olkoon "muumio vaihtaa lampun ja pesee ikkunat", jossa muumio on molempien yhtälöiden subjektiivinen puoli eikä vain toisen niistä (eli x) ja lamppu ja ikkunat ovat yhtälöparin eri yhtälöiden objektiiviset puolet a ja b. Sana ja on kausaaliyhtälöparin yhtälöiden konjunktiivinen konnektiivi, joka väittää yhtälöparin molempien epäyhtälöiden toteutuvan. Edellä mainittu kausaaliyhtälöpari EI ole siis seuraavanlaista muotoa,

[math]\displaystyle{ \begin{cases} x \gt a \\ 0 \lt b \end{cases} }[/math]

sillä tuo yhtälöpari tarkoittaisi seuraavaa: "Muumio vaihtaa lampun ja ikkunat peseytyvät." Tässä yhtälöparissa on passiivinen kausaaliyhtälö [math]\displaystyle{ 0 \lt b \!\ }[/math]. Edellä mainittu kausaaliyhtälöpari "Muumio vaihtaa lampun ja pesee ikkunat" onkin seuraavanlaista muotoa, sillä tekijän muumio vaikutusalue ulottuu molempiin kohteisiin:

[math]\displaystyle{ \begin{cases} x \gt a \\ x \gt b \end{cases} }[/math]

Mikäli kausaaliyhtälöparin yhtälöiden välillä on disjunktio, kyseinen yhtälöpari olisi muotoa "muumio vaihtaa lampun tai pesee ikkunat", jossa sana tai on kausaaliyhtälöparin disjunktiivinen konnektiivi, joka taas väittää toisen epäyhtälön toteutuvan toisen epäyhtälön kustannuksella. Edellä mainittu yhtälö on siis seuraavaa muotoa:

[math]\displaystyle{ \begin{cases} \dfrac {x\gt a}{x\gt b} \end{cases} }[/math]

Kuten edellä mainittiin, disjunktiivisen kausaaliyhtälöparin ollessa kysymyksessä erotellaan yhtälöparin epäyhtälöt vaakasuoralla viivalla. Tavalliset kausaaliyhtälöitä koskevat laskusäännöt, kuten nollasääntö ja negaatio pätevät täälläkin.

Implikaatio ja ekvivalenssi

Loogisen konjunktion ja loogisen disjunktion lisäksi kausaalisen yhtälöparin yhtälöiden välillä voi myös olla looginen implikaatio ja looginen ekvivalenssi, jotka ilmaisevat kausaaliyhtälöparin yhtälöiden välisen yhtäpitävyyden. Kumpaakaan yhtälöparia ei merkitä aaltosulkeita hyväksi käyttäen, ja siksi ne muistuttavat paljon tavallisia kausaaliyhtälöitä, vaikka ne kausaaliyhtälöpareja ovatkin. Implikatiivisen kausaaliyhtälöparin yhtälöt erotellaan toisistaan implikaattorilla ja ekvivalenttisen kausaaliyhtälöparin yhtälöt ekvivalenttorilla.

Kausaalisen yhtälöparin yhtälöiden välinen implikaatio ilmaisee kausaaliyhtälöparin yhtälöiden välisen yhtäpitävyyden toteutumista yhtälöiden osoittautuessa todeksi vuorotellen. Implikatiivisen kausaaliyhtälöparin perusrunko on sanalliselta esitysmuodoltaan "jos...niin...", kuten esimerkiksi tällainen yhtälö "jos muumio vaihtaa lampun, niin valot syttyvät", joka on algebrallisesti esitettynä tällainen:

[math]\displaystyle{ x \gt a \Rightarrow 0 \lt b }[/math]

Tässä yhtälöparissa on kaksi eri yhtälöä, jotka ovat implikatiivisen kausaaliyhtälöparin syy- ja seurausosat. Nämä yhtälöt on erotettu toisistaan nuolella, jota nimitetään implikaattoriksi. Implikaattori on kausaaliyhtälöparin implikaation aiheuttaja ja se osoittaa aina yhtälöparin seurausosaan päin.

Kausaalisen yhtälöparin yhtälöiden välinen ekvivalenssi taasen ilmaisee kausaaliyhtälöparin yhtälöiden välisen yhtäpitävyyden toteutumista yhtälöiden osoittautuessa todeksi samanaikaisesti. Ekvivalenttisen kausaaliyhtälöparin perusrunko on sanalliselta esitysmuodoltaan "...ja...ovat yhtäpitäviä", kuten esimerkiksi "muumio vaihtaa lampun ja valot syttyvät ovat yhtäpitäviä", joka on algebrallisesti esitettynä tällainen:

[math]\displaystyle{ x \gt a \Leftrightarrow 0 \lt b }[/math]

Ekvivalenssi eroaa konjunktiosta siitä, että yhtälöparin yhtäpitävyys tulee voimaan vasta kun molemmat yhtälöt on osoitettu todeksi. Konjunktiossa ei tarvitse osoittaa todeksi kuin toinen yhtälö, jolloin toinen on automaattisesti tosi myös. Ekvivalenssin aiheuttaja, jota nimitetään myös ekvivalenttoriksi merkitään yhtälöparin kumpaakin puolta osoittavalla nuolella.

Norriksen vastayhtälö

Norriksen vastayhtälö on kausaaliyhtälöpari, joka on nimetty erään amerikkalaisen kehonrakentajan Chuck Norriksen mukaan. Norriksen vastayhtälössä tavallinen kausaaliyhtälö "muumio vaihtaa lampun" eli [math]\displaystyle{ x\gt a }[/math] muuttuu vastayhtälökseen (yhtälöparin ylempi yhtälö) ja sen puolet vaihtavat paikkaa etumerkin muuttumatta (yhtälöparin alempi yhtälö). Kyseinen yhtälöpari on tällöin muotoa "muumio ei vaihda lamppua ja lamppu vaihtaa muumion ovat yhtäpitäviä" eli alla:

[math]\displaystyle{ \neg (x \gt a) \Leftrightarrow a \gt x }[/math]

Ylläoleva on Norriksen vastayhtälön peruskaava ja se perustuu suurimmaksi osaksi Chuck Norris -faktojen sisältämään käänteislogiikkaan. Siinä on tapahtunut ekvivalenssi kahden eri kausaaliyhtälön välillä. Yhtälö voidaan ilmaista sanallisesti myös "muumio ei vaihda lamppua, vaan lamppu vaihtaa muumion". Sanalla vaan tai muilla ekvivalenttisilla konnektiiveilla voidaan korvata sanallisten muotojen tökeröt ja - ovat yhtäpitäviä yhdistelmät.

Keskeistä sanastoa

• Algebrallinen esitysmuoto – kausaalisen yhtälön esitysmuoto, jossa yhtälö esitetään laskumerkkejä ja alfanumeraaleja käyttäen.
• Attribuutti – sana tai fraasi, joka on yleensä kausaaliyhtälön sanallisen muodon tekijän/tekijöiden tai kohte(id)en edessä. Attribuutti osoittaa yleensä negaation sijainnin yhtälössä. Hyvä esimerkki attribuutista on sana ainakaan.
• Disjunktio – kausaaliyhtälöparin yhtälön toteutuminen toisen saman kausaaliyhtälöparin yhtälön kustannuksella.
• Ekvivalenssi – kausaaliyhtälöparin yhtälöiden välinen yhtäpitävyys, joka toteutuu molempien yhtälöiden osoittautuessa todeksi samanaikaisesti.
• Ekvivalenttori eli ekvaattori – ekvivalenttisen kausaaliyhtälöparin ekvivalenssin aiheuttaja, jota merkitään kumpaankin suuntaan osoittavalla kaksoisnuolella. Ekvivalenttoreilla voidaan korvata sanallisten muotojen ja – ovat yhtäpitäviä yhdistelmät.
• Epämääräinen kausaaliyhtälö – kausaalinen yhtälö, josta puuttuu kausaliteetin kohde. Puuttuvaa kohdetta merkitään luvulla nolla.
• Implikaatio – kausaaliyhtälöparin yhtälöiden välinen yhtäpitävyys, joka toteutuu molempien yhtälöiden osoittautuessa todeksi vuorotellen.
• Implikaattori – implikatiivisen kausaaliyhtälöparin implikaation aiheuttaja, jota merkitään jompaankumpaan suuntaan osoittavalla nuolella riippuen seurausosan sijainnista yhtälöparissa.
• Kausaalinen yhtälö eli kausaaliyhtälö – epäyhtälö, jonka puolien välillä on kausaliteetti eli syy-seuraussuhde.
• Kausaalinen yhtälöpari eli kausaaliyhtälöpari – yhtälöpari, jossa on kaksi kausaalista yhtälöä.
• Kausaliteetti eli syy-seuraussuhde – suhde, jonka syystä on aina jokin seuraus.
• Kausalitiivinen attribuutio – kausaaliyhtälön kausaliteetin aiheuttaja, jota merkitään jompaankumpaan suuntaan osoittavalla erisuuruusmerkillä riippuen objektiivisen puolen sijainnista yhtälössä.
• Kohde eli objekti – kausaaliyhtälön puoli, jota erisuuruusmerkki osoittaa. Nolla on algebrallisessa esitysmuodossa aina kausaaliyhtälön kohde. Kohde muodostaa ilman tekijää passiivisen kausaaliyhtälön.
• Konjunktio – kausaaliyhtälöparin yhtälöiden yhtäaikainen toteutuminen.
• Konnektiivi – sana tai fraasi, joka erottaa kausaaliyhtälöparin yhtälöt toisistaan näiden sanallisissa muodoissa, kuten konjunktiivisen yhtälöparin konnektiivit "ja" ja "sekä", disjunktiivisen yhtälöparin konnektiivit "tai", "joko - tai" ja "vai", implikatiivisen yhtälöparin konnektiivi eli implikaattori "jos - niin" ja ekvivalenttisen yhtälöparin konnektiivit eli ekvivalenttorit "jotta", "koska", "kun", "vaan" ja "vaikka".
• Negaatio – yhtälön jommankumman puolen kielto tai kielteisyys, jonka attribuutti useimmiten osoittaa.
• Nolla – numeraali, joka ilmaisee algebrallisessa esitysmuodossa puuttuvaa tekijää tai kohdetta, mutta onkin siinä itse asiassa aina kohde.
• Passiivinen kausaaliyhtälö – kausaalinen yhtälö, josta puuttuu kausaliteetin tekijä ja jonka takia kausaalisen yhtälön kohteesta on tullut sekä kohde että tekijä. Puuttuvaa tekijää merkitään luvulla nolla, mutta algebrallisessa esitysmuodossa luku nolla on itse asiassa kohde.
• Puoli – kausaaliyhtälön osa, joka sijaitsee erisuuruusmerkin jommallakummalla puolella. Mikäli tällä puolella sijaitsee kausaaliyhtälön tekijä, kyseessä on subjektiivinen puoli. Mikäli siellä taasen sijaitsee kohde, kyseessä on objektiivinen puoli.
• Sanallinen esitysmuoto – kausaalisen yhtälön esitysmuoto, jossa yhtälö esitetään suurimmaksi osaksi sanoin ilman laskumerkkejä.
• Seurausosa – implikatiivisen kausaaliyhtälöparin puoli, jota implikaattori osoittaa.
• Syyosa – implikatiivisen kausaaliyhtälön puoli, jota implikaattori ei osoita.
• Tekijä eli subjekti – kausaaliyhtälön puoli, jota erisuuruusmerkki ei osoita. Tekijä muodostaa ilman kohdetta epämääräisen kausaaliyhtälön.

Katso myös

• Chuck Norris
• Lukuteoria
• Yhtälö

	ONKO SIVISTYKSESSÄSI AUKKO?
	Tämän sivun vitsi perustuu siihen, että se on kirjoitettu käsittelemänsä henkilön tai aiheen tyylillä parodisin tavoittein. Mikäli et tajua tätä sivua, johtuu se todennäköisesti siitä, että olet sivistymätön barbaari, joka ei tiedä mistään mitään. Ehkäpä sinun kannattaisi lukea enemmän Wikipediaa.